特殊帰納法

順帰納の公理や逆帰納の公理が使える状況では、特殊帰納法といって一般帰納法より高精度の方法が使えます。

線形帰納法

順帰納の公理で、元が近いほど写像も近いと推測します。

しかし、最も近い既存の元が最適解とは限りません。

複数の元の加重平均で、さらに近くなる場合があります。

例1)
y=f(x) は線形関数
推測対象： y=f(2)
データ：10=f(1), 50=f(5)
最適解：0.75f(1) + 0.25f(5) =20
引数の距離：|(0.751+0.255)-2| =0

引数の距離が0のときは、演繹になります。

例2)
y=(x,z)

xとzの両方を0にできれば、例1と同様です。

そうでなければ、引数の距離の求め方が既知であることが必要です。
例えば、x,zのユークリッド距離など。

元を推測する場合も、逆帰納の公理を使って同様です。

関数が線形だと限らない場合です。

| 推測対象の元 – 集合の平均 |

1項目は、線形帰納法と同じです。
元の平均値(期待値)のズレです。

2項目は、ばらつきの大きさです。
線形帰納法の場合は、2項目の係数は0です。
線形なら、平均値さえ合っていれば合うからです。

2項目の係数は1を超えません。
ばらつきが、平均値の差よりも効くことはありません。

2項目の係数は、0～1の間のどこかに最適値があります。
関数の形の情報がなければ、最適値は分かりません。
ゆえに、中間の0.5を係数とします。
全ての関数の形の一様分布を仮定したと解釈できます。

元の近さの順序の情報が与えられている場合の方法です。

最高順位の元が、推測対象と最も近い元です。

しかし、最高順位の元が最適解とは限りません。

高順位の元を平均した方が良い場合があります。

不明の公理により、推測対象もまた「不明」な元として含めます。

例1)1位の元だけ採用した場合
1位の元：50%
不明：50%

例2)1位と2位の元を採用した場合
1位と2位の元：2/3
不明：1/3

複数の元の採用した方が「不明」の比率が減ります。
採用数する元の個数：m
「不明」の比率：1/(m+1)

例1と例2を合成します。
双方から、より定まっている部分を採用します。
例1から、1位の元は、1/2
例2から、1位と2位の元で、2/3
よって、2位の元は3/2-1/2=1/6になります。
1位：1/2
2位：1/6
不明：1/3

n位まで採用する場合
n位の比率：1/(n^2+n)
不明の比率：1/(n+1)

採用する数を増やしても、上位の比率は変わらず、不明だった部分が置き換えられていきます。
どんなに順位が低くても、採用した方が良いです。